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考研数学模拟试题

2012考研数学考前必做三套题

数学二

(试卷二)

一、选择题: 1~8小题, 每小题4分, 共32分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 将所选项前的字母填在题后的括号内.

2

1. 设当 x 0 时, arcsin(sinx)ln(1 x2)是比(ex 1)sinxn高阶的无穷小, 而 xn 1 1)

是比ln2(esin

2

x

cosx)高阶的无穷小, 则正整数 n 的值为 ( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解: 当 x 0 时, arcsin(sin2

x)ln(1 x2

)~sin2

x x2

~x4

.(ex

1)sinxn

~xn 1

.

所以 4 > n + 1. (1)

sin(1 xn 1 1)~ xn 1 1~

1n 1

2

x ln2(esin2

x cosx) ln2[1 (esin2

x 1 cosx)]~(esin2

x 1 cosx)2

~1 cosx(因为x 0 时, esin

2

x

1是比 cosx高阶的无穷小.) ~

12

x2 所以 n + 1 > 2. (2) 于是 n + 1 = 3, 即 n = 2.

2. 设 f (x) 在以下所指的区间上可导, 则下列说法正确的是 ( ).

(A) 若 f (x) 在 (a, b) 上有上界, 则 f (x) 在 (a, b) 上有上界. (B) 若 f (x) 在 (a, b) 上有上界, 则 f (x) 在 (a, b) 上有上界. (C) 若 f (x) 在 (a, + ) 上无界, 则 f (x) 在 (a, + ) 上无界. (D) 若 f (x) 在 (a, + ) 上无界, 则 f (x) 在 (a, + ) 上无界.

解: (A) 不正确. 反例: f(x) xsin1x

,x (0,1),此函数在区间 (0, 1) 上有界:

f(x) x

1

x

1, 但 f (x) 1111x xcosx,x (0,1),f (

2n ) 2n ,当 n 无限变大时, x

1

2n (0,1),但limn f (12n

) ,故 f (x) 无界.

(B)正确. 任取 x0 (a, b), 根据拉格朗日中值定理, x (a, b), 有

f (x) = f (x0) + f ( )(x x0), 于是 | f (x)| | f (x0)| + | f ( )| |x x0| | f (x0)| + M(b a). 其中 f (x0) 为确定的值, M 为 | f (x)| 的上界.

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